2014年充分条件与必要条件 基础巩固强化

 

1.(文)(2011·湖南高考)设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的(　　)

A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件

C．充分必要条件   D．既不充分又不必要条件

[答案]　A

[解析]　显然a＝1时一定有N⊆M，反之则不一定成立，如a＝－1.故是充分不必要条件．

[点评]　若N⊆M，则应有a2＝1或a2＝2，∴a∈{－1,1，，－}，由于{1}��{－1,1，，－}，∴应选A.

(理)(2011·太原模考)“α≠β”是“sinα≠sinβ”的(　　)

A．充分而不必要条件　　 B．必要而不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

[答案]　B

[解析]　命题“若α≠β，则sinα≠sinβ”等价于命题“若sinα＝sinβ，则α＝β”，这个命题显然不正确，故条件是不充分的；命题“若sinα≠sinβ，则α≠β”等价于命题“若α＝β，则sinα＝sinβ”，这个命题是真命题，故条件是必要的．故选B.

2．(文)(2011·辽宁六校模考)“x>2”是“x2－3x＋2>0”成立的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

[答案]　A

[解析]　因为x2－3x＋2>0⇔x>2或x<1，所以x>2⇒x2－3x＋2>0；但x2－3x＋2>0⇒/ x>2，故“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件，选A.

(理)(2011·山西六校联考)“a＝1”是“函数f(x)＝lg(ax)在(0，＋∞)上单调递增”的(　　)

A．充分不必要条件   B．充分必要条件

C．必要不充分条件   D．既不充分也不必要条件

[答案]　A

[解析]　∵当a＝1时，f(x)＝lgx在(0，＋∞)上单调递增，∴a＝1⇒f(x)＝lg(ax)在(0，＋∞)上单调递增，而由f(x)＝lg(ax)在(0，＋∞)上单调递增可得a>0，∴“a＝1”是“函数f(x)＝lg(ax)在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件，故选A.

3．下列命题中的假命题是(　　)

A．∀x>0且x≠1，都有x＋x(1)>2

B．∀a∈R，直线ax＋y＝a恒过定点(1,0)

C．∃m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数

D．∀φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数

[答案]　D

[解析]　∵x＋x(1)≥2等号在x＝1时成立，∴A真；将x＝1，y＝0代入直线方程ax＋y＝a中成立，∴B真；令m－1＝1得m＝2，此时f(x)＝x－1是幂函数，故C真；当φ＝2(π)时，f(x)＝sin2(π)＝cos2x为偶函数，故D假．

4．(2012·浙江调研)在△ABC中，“A＝60°”是“cosA＝2(1)”的(　　)

A．充分而不必要条件   B．必要而不充分条件

C．充分必要条件   D．既不充分也不必要条件

[答案]　C

[解析]　在△ABC中，若A＝60°，则cosA＝2(1)；反过来，若cosA＝2(1)，因为0°<A<180°，所以A＝60°.因此，在△ABC中，“A＝60°”是“cosA＝2(1)”的充要条件，选C.

5．(2012·北京西城区期末)“直线l的方程为x－y＝0”是“直线l平分圆x2＋y2＝1的周长”的(　　)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

[答案]　A

[解析]　若直线l的方程为x－y＝0，则直线l一定平分圆x2＋y2＝1的周长；但要平分圆x2＋y2＝1的周长，只需要经过圆心(原点)任意作一条直线即可，即“直线l的方程为x－y＝0”是“直线l平分圆x2＋y2＝1的周长”的充分而不必要条件．故选A.

6．(文)(2011·杭州二检)已知α、β表示两个不同的平面，m是一条直线且m⊂α，则“α⊥β”是“m⊥β”的(　　)

A．充分而不必要条件   B．必要而不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

[答案]　B

[解析]　m⊂α(m⊥β)⇒α⊥β；但α⊥β时，设α∩β＝l，当m∥l时，m与β不垂直，故选B.

(理)(2011·浙江五校联考)已知不重合的直线a、b和不重合的平面α、β，a⊥α，b⊥β，则“a⊥b”是“α⊥β”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

[答案]　C

[解析]　∵b⊥β.(a⊥b，)∴a∥β或a⊂β，∵a⊥α，∴α⊥β；反之，由α⊥β也可以推出a⊥b，故选C.

7．有下列命题：

①设集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，则“a∈M”是“a∈N”的充分而不必要条件；

②命题“若a∈M，则b∉M”的逆否命题是：若b∈M，则a∉M；

③若p∧q是假命题，则p、q都是假命题；

④命题P：“∃x0∈R，x0(2)－x0－1>0”的否定綈P：“∀x∈R，x2－x－1≤0”

其中真命题的序号是________．

[答案]　②④

[解析]　∵N��M，∴a∈M是a∈N的必要不充分条件，∴①为假命题；逆否命题是将原命题的条件和结论都否定后分别作为新命题的结论与条件，a∈M否定后a∉M为结论，b∉M否定后b∈M为条件，故②为真命题；p∧q为假命题时，p、q至少有一个为假命题，不一定“p、q都是假命题”，故③为假命题；特称命题的否定为全称命题，>的否定为≤，故④为真命题．

8．a＝－3(1)是函数f(x)＝ax3＋4x＋1在(－∞，－2]上单调递减的________条件．(填充分不必要、必要不充分、充要或既不充分也不必要)

[答案]　充分不必要

[解析]　a＝－3(1)时，若x≤－2，则f ′(x)＝－x2＋4≤0，∴f(x)在(－∞，－2]上单调递减．

若f(x)在(－∞，－2]上单调递减，

∵f ′(x)＝3ax2＋4，∴3ax2＋4≤0，在(－∞，－2]上恒成立，即a≤－3x2(4)恒成立，∴a≤－3(1).故填充分不必要．

9．(2012·浙江绍兴模拟)“－3<a<1”是“方程a＋3(x2)＋1－a(y2)＝1表示椭圆”的________条件．

[答案]　必要不充分

[解析]　方程表示椭圆时，

应有a＋3≠1－a，(1－a>0，)

解得－3<a<1且a≠－1，

故“－3<a<1”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．

10．(文)已知p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若綈p是綈q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．

[解析]　由题意p：－2≤x－3≤2，∴1≤x≤5.

∴綈p：x<1或x>5.q：m－1≤x≤m＋1，

∴綈q：x<m－1或x>m＋1.

又∵綈p是綈q的充分不必要条件，

∴m＋1≤5.(m－1≥1，)且等号不同时取得．

∴2≤m≤4.

(理)已知函数f(x)是R上的增函数，a、b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．”

(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；

(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．

[解析]　(1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0，真命题．

用反证法证明：

设a＋b<0，则a<－b，b<－a，

∵f(x)是R上的增函数，

∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，

∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，这与题设矛盾，所以逆命题为真．

(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，则a＋b<0，为真命题．

由于互为逆否命题同真假，故只需证原命题为真．

∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a，

又∵f(x)在R上是增函数，

∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．

∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，∴原命题真，故逆否命题为真.

能力拓展提升

11.(2011·宁夏三市联考)设x、y是两个实数，命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是(　　)

A．x＋y＝2   B．x＋y>2

C．x2＋y2>2   D．xy>1

[答案]　B

[解析]　命题“x、y中至少有一个数大于1”等价于“x>1或y>1”．若x＋y>2，必有x>1或y>1，否则x＋y≤2；而当x＝2，y＝－1时，2－1＝1<2，所以x>1或y>1不能推出x＋y>2.对于x＋y＝2，当x＝1，且y＝1时，满足x＋y＝2，不能推出x>1或y>1.对于x2＋y2>2，当x<－1，y<－1时，满足x2＋y2>2，不能推出x>1或y>1.对于xy>1，当x<－1，y<－1时，满足xy>1，不能推出x>1或y>1.故选B.

12．(2012·衡阳六校联考)已知a、b为非零向量，则“函数f(x)＝(ax＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分又不必要条件

[答案]　C

[解析]　依题意得f(x)＝a2x2＋2(a·b)x＋b2.由函数f(x)是偶函数，得a·b＝0，又a、b为非零向量，所以a⊥b；反过来，由a⊥b得，a·b＝0，f(x)＝a2x2＋b2，所以函数f(x)是偶函数．综上所述，“函数f(x)＝(ax＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的充要条件，选C.

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