一、填空题(本大题满分70分)
1、已知集合若,则实数m的值为
2、若复数为虚数单位)为纯虚数,则实数a的值为
3、抛物线的焦点坐标是
4、如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是 .
5、高三(1)班共有56人,学号依次为1,2,3,┅,56,现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本,已知学号为6,34,48的同学在样本中,那么还有一个同学的学号应为
6、命题P:“,.”则当时,命题P为 命题(填“真”或“假”)
7、某程序的伪代码如图所示,则运行后的输出结果为
8、实数满足,且的最大值为12,最小值为3,则的值为
9、已知函数,若,则实数的取值范围是
10、若平面向量满足,且的夹角为,的夹角为,,则
11、已知等差数列的前n项和为Sn,若成等比数列,则=
12、函数上的最大值为
13、设集合,且在直角坐标平面内,从所有满足这些条件的有序实数对所表示的点中任取一个,其落在圆内的概率恰为,则的一个可能的正整数值是 (只需写出一个即可).
14、有31行67列表格一个,每个小格都只填1个数,从左上角开始,第一行依次为1,2,…,67;第二行依次为68,69,…,134;…依次把表格填满。现将此表格的数按另一方式填写,从左上角开始,第一列从上到下依次为1,2…,31;第二列从上到下依次为32,33,…,62;…依次把表格填满。对于上述两种填法,在同一小格里两次填写的数相同,这样的小格在表格中共有___ _个.
二、解答题(本大题满分90分)本大题共有6题,解答下列各题必须写出必要的步骤.
15、(本小题满分14分)
在斜三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a、b、c,且.
(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)若,求角C的取值范围.
16、(本小题满分14分)如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA垂直于底面,E、F分别是AB、PC的中点.
(1)求证:CD⊥PD;(2)求证EF∥平面PAD;(3)当值为多少时,直线EF⊥平面PCD?
17、(本小题满分15分)中心在原点,焦点在x轴上的椭圆C的焦距为2,两准线问的距离为10.设A(5,0),B(1,0).(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点A作直线与椭圆C只有一个公共点D,求过B,D两点,且以AD为切线的圆的方程;
(Ⅲ)过点A作直线l交椭圆C于P,Q两点,过点P作x轴的垂线交椭圆C于另一点S.若AP=tAQ(t>1),求证:SB=tBQ.
18、(本小题满分15分)某隧道长2150m,通过隧道的车速不能超过m/s。一列有55辆车身长都为10m的同一车型的车队(这种型号的车能行驶的最高速为40m/s),匀速通过该隧道,设车队的速度为xm/s,根据安全和车流的需要,当时,相邻两车之间保持20m的
距离;当时,相邻两车之间保持m的距离。自第1辆车车头进入隧
道至第55辆车尾离开隧道所用的时间为.
(1)求函数;(2)求车队通过隧道时间的最小值及此时车队的速度。
19、(本小题满分16分)已知函数
(I)求曲线处的切线方程;
(Ⅱ)求证函数在区间[0,1]上存在唯一的极值点,并用二分法求函数取得极值时相应x的近似值(误差不超过0.2);(参考数据e≈2.7,≈1.6,e0.3≈1.3)
(III)当试求实数的取值范围。
20、(本小题满分16分)设数列的各项都是正数,记为数列的前n项和,且对任意都有
(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求数列的通项公式;
(Ⅲ)若(为非零常数,),问是否存在整数,使得对任意,都有.
范水高级中学2008-2009学年度第二学期综合练习13
数学参考解答
一、填空题:
1、1; 2、; 3、; 4、; 5、20; 6、真; 7、16; 8、2;
9、; 10、; 11、±100; 12、; 13、30或31或32; 14、7
二、解答题:
15、⑴ ∵ ,……………………………… 2分
又∵ ,∴ 而为斜三角形,
∵,∴. ………… 4分∵,∴ . ……… 6分
⑵∵,∴ …12分
即,∵,∴.…………………………………14分
16、证明 (1)∵PA⊥底面ABCD,∴AD是PD在平面ABCD内的射影,
∵CD平面ABCD且CD⊥AD,∴CD⊥PD
(2)取CD中点G,连EG、FG,∵E、F分别是AB、PC的中点,∴EG∥AD,FG∥PD
∴平面EFG∥平面PAD,故EF∥平面PAD
(3)当时,直线EF⊥面PCD;
证明G为CD中点,则EG⊥CD,AD=AP由Rt△PAE≌Rt△CBE,得PE=CE
又F是PC的中点,∴EF⊥PC,由CD⊥EG,CD⊥FG,
得CD⊥平面EFG,CD⊥EF即EF⊥CD,故EF⊥平面PCD
17、(1)设椭圆的标准方程为
依题意得:,得 ∴ 所以,椭圆的标准方程为.
(2)设过点的直线方程为:,代入椭圆方程得;
(*)依题意得:,即
得:,且方程的根为
当点位于轴上方时,过点与垂直的直线与轴交于点,
直线的方程是:,
所求圆即为以线段DE为直径的圆,故方程为:
同理可得:当点位于轴下方时,圆的方程为:.
(3)设,由=得:,代入
(**) 要证=,即证
由方程组(**)可知方程组(1)成立,(2)显然成立.∴=.
18、(1)当时,
当时,
所以,
(2)当时,在时,
当时,
当且仅当,即:时取等号。
因为 ,所以 当时,因为
所以,当车队的速度为时,车队通过隧道时间有最小值。
19、22.解:(Ⅰ),…1分又,
处的切线方程为
………………………3分
(Ⅱ),……4分
令,则上单调递增,
上存在唯一零点,上存在唯一的极值点………6分
取区间作为起始区间,用二分法逐次计算如下
区间中点坐标
|
中点对应导数值
|
取区间
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|
|
|
|
1
|
|
|
|
0.6
|
|
|
|
0.3
|
|
|
|
|
由上表可知区间的长度为0.3,所以该区间的中点,到区间端点距离小于0.2,因此可作为误差不超过0.2的一个极值点的相应x的值。
取得极值时,相应………………………9分
(Ⅲ)由,
即,,…12分
令
令
上单调递增,,
因此上单调递增,
则,的取值范围是……16分
20、证明:(1)在已知式中, 当时, ∵∴ …(1分)
当时, ①②
由①-②得, ………(3分)
∵∴即∴适合上式,
………(5分)
(2)由(1)知, ③
当时, ④
由③-④得,…(8分)
∵, ∴,
数列是等差数列,首项为1,公差为1,可得(10分)
(3) ∵, ∴………(11分)
∴,
∴⑤………(12分)
当时, ⑤式即为⑥
依题意, ⑥式对都成立, 当时,
⑤式即为 ⑦依题意, ⑦式对都成立,
∴………(13分) ∴又,
∴存在整数, 使得对任意, 都有 ………(13分)