一、填空题（本大题满分70分）
1、已知集合
若
，则实数m的值为
2、若复数
为虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为
3、抛物线
的焦点坐标是
4、如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是 
.
5、
高三（1）班共有56人，学号依次为1，2，3，┅，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为
6、
命题P：“
，
．”则当
时，命题P为 命题（填“真”或“假”）
7、某程序的伪代码如图所示，则运行后的输出结果为
8、实数
满足
，且
的最大值为12，最小值为3，则
的值为
9、已知函数
，若
，则实数
的取值范围是
10、若平面向量
满足
，且
的夹角为
，
的夹角为
，
，则
11、已知等差数列
的前n项和为Sn，若
成等比数列，则
=
12、函数
上的最大值为
13、
设集合
，且在直角坐标平面内，从所有满足这些条件的有序实数对
所表示的点中任取一个，其落在圆
内的概率恰为
，则
的一个可能的正整数值是 （只需写出一个即可）．
14、有31行67列表格一个，每个小格都只填1个数，从左上角开始，第一行依次为1，2，…，67；第二行依次为68，69，…，134；…依次把表格填满。现将此表格的数按另一方式填写，从左上角开始，第一列从上到下依次为1，2…，31；第二列从上到下依次为32，33，…，62；…依次把表格填满。对于上述两种填法，在同一小格里两次填写的数相同，这样的小格在表格中共有___ _个.
二、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
15、（本小题满分14分）
在斜三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a、b、c，且
.
（Ⅰ）
求角A的大小；（Ⅱ）
若
，求角C的取值范围.
16、（本小题满分14分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点.
(1)求证：CD⊥PD；(2)求证
EF∥平面PAD；(3)当
值为多少时，直线EF⊥平面PCD？
17、（本小题满分15分）中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的焦距为2，两准线问的距离为10．设A(5,0)，B(1，0)．(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)过点A作直线与椭圆C只有一个公共点D，求过B，D两点，且以AD为切线的圆的方程；
(Ⅲ)过点A作直线l交椭圆C于P，Q两点，过点P作x轴的垂线交椭圆C于另一点S．若AP=tAQ（t＞1），求证：SB=tBQ.
18、(本小题满分15分)某隧道长2150m，通过隧道的车速不能超过
m/s。一列有55辆车身长都为10m的同一车型的车队（这种型号的车能行驶的最高速为40m/s），匀速通过该隧道，设车队的速度为xm/s，根据安全和车流的需要，当
时，相邻两车之间保持20m的
距离；当
时，相邻两车之间保持
m的距离。自第1辆车车头进入隧
道至第55辆车尾离开隧道所用的时间为
.
（1）求函数
；（2）求车队通过隧道时间
的最小值及此时车队的速度。
19、（本小题满分16分）已知函数
（I）求曲线
处的切线方程；
（Ⅱ）求证函数
在区间[0，1]上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时相应x的近似值（误差不超过0.2）；（参考数据e≈2.7，
≈1.6，e0.3≈1.3）
（III）当
试求实数
的取值范围。
20、（本小题满分16分）设数列
的各项都是正数，记
为数列
的前n项和，且对任意
都有
(Ⅰ)求证：
；(Ⅱ)求数列
的通项公式；
(Ⅲ)若
(
为非零常数,
),问是否存在整数
,使得对任意
,都有
.
范水高级中学2008-2009学年度第二学期综合练习13
数学参考解答
一、填空题：
1、1； 2、
； 3、
； 4、
； 5、20； 6、真； 7、16； 8、2；
9、
； 10、
； 11、±100； 12、
； 13、30或31或32； 14、7
二、解答题：
15、⑴ ∵ 
，……………………………… 2分
又∵ 
，∴ 
而
为斜三角形，
∵
，∴
. ………… 4分∵
，∴
. ……… 6分
⑵∵
，∴
…12分
即
，∵
，∴
.…………………………………14分
16、证明
(1)∵PA⊥底面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD内的射影，
∵CD
平面ABCD且CD⊥AD，∴CD⊥PD
(2)取CD中点G，连EG、FG，∵E、F分别是AB、PC的中点，∴EG∥AD，FG∥PD
∴平面EFG∥平面PAD，故EF∥平面PAD
(3）当
时，直线EF⊥面PCD；
证明
G为CD中点，则EG⊥CD,AD=AP由Rt△PAE≌Rt△CBE,得PE=CE
又F是PC的中点，∴EF⊥PC，由CD⊥EG，CD⊥FG，
得CD⊥平面EFG，CD⊥EF即EF⊥CD，故EF⊥平面PCD
17、（1）设椭圆的标准方程为
依题意得：
，得
∴
所以，椭圆的标准方程为
．
（2）设过点
的直线方程为：
，代入椭圆方程
得;
(*)依题意得：
，即
得：
，且方程的根为
当点
位于
轴上方时，过点
与
垂直的直线与
轴交于点
，
直线
的方程是：
， 
所求圆即为以线段DE为直径的圆，故方程为：
同理可得：当点
位于
轴下方时，圆的方程为：
．
（3）设
，
由
=
得：
，代入
（**） 要证
=
，即证
由方程组（**）可知方程组（1）成立,(2)显然成立．∴
=
.
18、（1）当
时，
当
时，
所以，
(2)当
时，在
时，
当
时，
当且仅当
，即：
时取等号。
因为 
，所以 当
时，
因为 
所以，当车队的速度为
时，车队通过隧道时间
有最小值
。
19、22．解：（Ⅰ）
，…1分又
，
处的切线方程为
………………………3分
（Ⅱ）
，
……4分
令
，则
上单调递增，
上存在唯一零点，
上存在唯一的极值点………6分
取区间
作为起始区间，用二分法逐次计算如下
|
区间中点坐标
|
中点对应导数值
|
取区间
|
|
|
|
|
|
1
|
|
|
|
|
0.6
|
|
|
|
|
0.3
|
|
|
|
|
|
由上表可知区间
的长度为0.3，所以该区间的中点
，到区间端点距离小于0.2，因此可作为误差不超过0.2的一个极值点的相应x的值。
取得极值时，相应
………………………9分
（Ⅲ）由
，
即
，
，…12分
令
令
上单调递增，
，
因此
上单调递增，
则
，
的取值范围是
……16分
20、证明：(1)在已知式中, 当
时, 
∵
∴
…(1分)
当
时, 
①
②
由①－②得, 
………(3分)
∵
∴
即
∴
适合上式,
………(5分)
(2)由(1)知, 
③
当
时, 
④
由③－④得,
…(8分)
∵
, ∴
,
数列
是等差数列,首项为1,公差为1,可得
(10分)
(3) ∵
, ∴
………(11分)
∴
,
∴
⑤………(12分)
当
时, ⑤式即为
⑥
依题意, ⑥式对
都成立, 当
时,
⑤式即为
⑦依题意, ⑦式对
都成立,
∴
………(13分) ∴
又
,
∴存在整数
, 使得对任意
, 都有
………(13分)
