哈尔滨高级中学2008-2009学年度数学测试题

一、填空题  本大题共14小题，每小题5分，共70分. 把答案填写在答题卡相应位置.

1.  命题“，”的否定是    ▲    ．

2.  若椭圆的离心率为，则实数   ▲   . 

3.  已知，且为虚数单位，则的最大值等于   ▲   .

4.  试写出一个一元二次不等式，使得其解集满足，则该不等式可以是   ▲   .

5.  某班有48名学生，在一次月考中，单科成绩数学优秀者有30人，英语优秀者有24人，若两科都优秀者为 人，则的取值构成的集合为   ▲   . （请用描述法表示）

6.  如图1，函数的图象在点P处的切线是，则   ▲   . 

7.  已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如右图2所示，则该凸多面体的体积   ▲   .

8.  已知向量，，满足，且与的夹角为135，与的夹角为120，2，则   ▲   .

9.  若圆关于直线成轴对称，则的范围是   ▲   .

10.  命题：“等差数列中，若，，是互不相等的正整数，则．”类比该命题，写出等比数列的一个相应命题：   ▲   .

11. 设是定义在上的奇函数，其导数为，当，，则不等式的解集为   ▲   .

12. 在如下程序框图3中，输入，则输出的是    ▲    ．

13. 已知动直线不全为且与圆相交与两点，则的值等于   ▲   . 

14. 已知，直线和. 设是上与两点距离平方和最小的点，则△的面积是   ▲   .

二、解答题：本大题共6小题，共90分. 请将解答填写在答题卡规定的区域内，否则答题无效. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.  (本小题满分14分)

设关于x的不等式的解集为A．

（1）当时，求集合A；

（2）若，且，求实数b的值．

16.  (本小题满分14分)

如图4，在直四棱柱中，底面是中心为

 的菱形． 

（1）求证: //平面； 

（2）求证: 平面平面．

17.  (本小题满分14分)

如图，点在内，，，记，．

（1）求关于的函数表达式；

（2）当为何值时，最大？并求出最大值．

18.  (本小题满分16分)

如图，圆过定点，圆心在抛物线上运动，且圆被轴截得

的弦为，记．

（1）求证：为定值；

（2）当为何值时，取得最大值？并求出

此时圆的方程．

19.  (本小题满分16分)

在、两个不同的正常数中间依次插入个数：，使之构成一

个项数为的数列，记，．

（1）若为等差数列，求及；

（2）若为等比数列，求及．

20.  (本小题满分16分)

定义：对于定义域为的函数，如果同时满足以下三条：①对任意的，总有；②；③若，都有成立，则称函数为理想函数．

（1）若函数为理想函数，求的值；

（2）判断函数是否为理想函数，并予以证明；

（3）若函数为理想函数，假定，使得，且，

求证：．

范水高级中学2008-2009学年度第二学期综合练习14

参 考 答 案

一、填空题

1．，使得　2．或　3．   4．（答案不唯一）

5．　   　6．　　　　　 7．　　   8．　　　　

9．　10．等比数列中，若，，是互不相等的正整数，则．

11．　　 12．  　     13．0　     14．

二、解答题

15．（1）当时，原不等式为: .     …2分

当时， ，即解得；        …4分

当时，，即解得 .            …6分

所以，.    …7分

（2）方法1 当时，令＝…9分

作函数的图像(如图).

当，的值域为， ………………11分

当，的值域为.  ………………13分

所以，当不等式的解集为时，．……14分

方法2  当时，不等式为. ……………8分

若，不等式的解集不可能是； ……………10分

若，不等式为，即x2－x＋b>0，        …11分

由题意知    …13分

于是有，解得b＝－2.                …14分

【命题意图】本题主要考察一元二次不等式以及分类讨论思想，属于容易题．

16．（1）证明：连结交于，连结，         …1分

在直四棱柱中，有，，

所以四边形为平行四边形，          …3分

又、分别为、的中点，故，，

所以四边形为平行四边形，故，      …5分

又平面，平面

所以平面；  ……7分

（2）直四棱柱中，平面，而平面，

故，…9分又菱形中，，且，

故平面，   …11分    又，

所以平面，而平面，………………13分

所以平面平面．              ………………14分

【命题意图】本题为05年南通市一模试题改编．基础题，

本题主要考查空间线、面间的位置关系（平行与垂直），涉

及线面平行的判定定理，面面垂直的判定定理．

17．解：（1）与中，由余弦定理得：

，①      ………………1分

，②……………2分

由①、②得：

，…………4分

解得：；              ………………7分

（2）    …………9分

由（1）得      …12分

所以当时，．    …14分

【命题意图】本题主要考查数学建模，涉及余弦定理及三角函数等基本知识，属于中档题．

18．设圆的方程为，     3分

令得，     ……5分        所以，            6分

（2）中，由余弦定理得，

即                      ……7分

又， 

所以，                         ……8分

故，   ……10分

当且仅当时，取得最大值，  ……12分

此时，，故为等腰直角三角形，  …14分

所以，  ……15分

故所求圆的方程为． 　…16分

【命题意图】本题考察了圆与方程，基本不等式等C级要求内容，涉及运动定常问题（本题中的定点与定值也可以对调位置，形成逆向探究问题），属于中等偏高题，注意结合几何图形的性质求解简化运算．

19．解: （1） 若数列：为等差数列，不妨设公差为，则，

此时， ………………2分

；    ……………4分

（2）若数列：为等比数列，不妨设公比为，则，

①．当为奇数时，，此时；  6分

．当为偶数时，，此时， 7分

综上所述，；  …8分

②．当为奇数时，，

ⅰ）当时，；      …10分

ⅱ）当，且时，11分

当，且时，；12分

．当为偶数时，，，15分

综上所述，． 16分

【命题意图】本题为课本题的推广与挖掘，源于课本，高于课本．主要考查等差数列与等比数列的

基本性质，涉及等差与等比数列的通项及求和公式，分类讨论思想等．

20．解：（1）取可得，即．    …1分

又由条件①，故．  …2分

（2）显然在满足条件①；      …3分

也满足条件②，．      …4分

若，，，

则

 ，即满足条件③，

故理想函数．   …8分

（3）由条件③知，任给、，当时，由知，

所以．    …10分

若，则，前后矛盾；     12分

若，则，前后矛盾．            …15分

故 ．    ………16分

【命题意图】本题考察含参数的函数的性质及代数论证，涉及分类讨论、等价划归等基本数学思想，属于难题．